아무리 정교한 수학 체계라도 그 자체로서 완전할 수 없다. 즉 증명불가능한 참인 명제의 예를 들어 괴델이 수학의 환원주의를 까부순 놀랄만한 정리. (환원주의는 힐버트가 수학의 모든 체계를 몇개의 공리로 다 구성하려했던 시도라고 알고 있습니다.) 더 골때리는 것은 증명되지 않은 명제가 증명이 되는지 안되는지 미리 알 수가 없다는 것입니다. 이때매 수학자들은 엄청난 딜레마에 빠져버렸다지요.
골드바흐의추측 같은 경우, 라마누잔(
수학이나를불렀다참조)이 아마 거짓이지 싶다고 직관적으로 언급까지 하였으나 아무도 증명을 못하고 있고 또 덤벼들기도 겁내고 있다합니다.
.png ":)")
--
zetapai
유클리드의 기하학의 공간은 "실제 존재하는 세계" 를 말했습니다. 즉, 기하학의 정리들은 우리 세계에 대한, 실질적인 진리라고 생각되었습니다. 그러나 18세기, 평행선 공준을 부정하고도 모순 없는 기하학이 전개될 수 있다는 것이 밝혀지자 상황은 전혀 달라졌습니다. 그 이후 수학은 공리가 참이라는 "가정"에서 출발하여 전개되는 명제들의 체계이며, 실제 세계와는 관계 없이 전개되는 것이라는 철학이 자리잡았습니다. (이것은 한편으로는, 어떤 대상들이든 공리를 참으로 한다는 것만 밝히면, 그 공리로부터 나온 모든 정리들을 즉각 그 실제적인 대상들에 적용, 참인 명제들을 만들어낼 수 있다는 말이기도 합니다.)
이제 문제는 수학이 절대적인 진리가 아니고 "공리"의 선택에 좌우되는 체계인 이상, 어떤 공리들을 택해야 내부적으로 완벽한 체계가 되는가 하는 것이었습니다. 그래서,
(1) 무모순성 - 공리들이 서로 모순된 명제들 이끌어내지 않을 것 (모순되면 그 체계는 끝장임)
(2) 독립성 - 모든 공리가 다른 공리들로부터 독립적일 것 (독립적이 아닌 공리는 필요 없음)
(3) 절대성 - 그 공리를 참으로 하는 대상이 둘 이상 있을 때 그들은 실질적으로는 동일할 것
(4) 완전성 - 모든 참인 명제를 증명할 수 있고, 모든 거짓인 명제 또한 거짓이라는 것을 증명할 수 있을 것
등등을 추구하게 되었는데, 이중 무모순성은 반드시 만족되어야 할 조건입니다. 독립성은 바람직하지만 꼭 그래야 하는 것은 아닙니다. 절대성은 완전성과 관계 있습니다. 괴델 이전의 수학자들은 내부적으로 모순이 없고 (무모순성) 모든 참인 명제를 증명할 수 있는 (완전성) 체계를 만들기 위해 많은 노력을 기울였습니다. 그런데 괴델은 1931년에,
자연수 체계를 포함하는 무모순인 공리 체계는 절대 완전할 수 없다. 즉, 증명할 수 없는 참인 명제가 반드시 존재한다.
라는, 충격적인 사실을 증명했습니다.(실제로 그런 명제를 만들었습니다.) 이것을 불완전성 정리라고 합니다. 자연수 체계를 포함한다는 말이 나온 이유는 증명에 자연수를 사용했기 때문입니다. 자연수 체계를 포함하지 않으면 완전할 수는 있겠지만 그것은 유리수, 실수 같은 어떤 종류의 수도 포함할 수 없다는 말이므로 별로 쓸모가 없는 이론이 될 것입니다. 어쨌든 이 정리는 수학을 완벽한 논리의 체계로 만들려는 노력을 영원히 잠재우고 말았습니다. 게다가 괴델은 다음과 같은 것도 증명했습니다.
자연수 체계를 포함하는 무모순인 공리 체계는 자신의 무모순성을 증명할 수 없다.
이 또한 충격적인 사실이 아닐 수 없습니다. 완전성은 커녕, 최소한의 조건인 무모순성조차 보장할 수 없다니.
[![[http]](/ns/imgs/http.png)